關于如何解題,這有一套萬能打法,學霸都在用,趕快學習!

學習方法 | 08-21 13:34 1870次 4次

數學是一門嚴謹的學科,除了要理解復雜的數學公式,還要刻意練習掌握數學的解題思路。

 

今天,青果君推薦一種怎么簡單、靠譜、穩定地解決問題的套路——波利亞四部解題法。

 

波利亞是大數學家,他在數論上有諸多成就,最為人們記住的就是他四部解題法。這個方法看似是數學方面的一種解題方法,其實對于我們解決任何問題都有借鑒意義。


它適用于無數其他情境,幫助每個人尋找各自問題的解決之道,不論它是什么問題。


怎樣解題表一共分為四步:


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當我們在平時的做題中不斷實踐和體會該表,必能很快就會發出和波利亞一樣的感嘆:“學數學是一種樂趣!”


波利亞的四步解題法


第一步,徹底理解問題


為了確保真正理解問題,你最好把問題用自己的話換成各種形式反復重新表達。

 

無論怎么重新表達,別忘了要指出問題的主干:要求解的是什么?已知什么?要滿足哪些條件?

 

第二步,形成解決思路,擬定方案

 

這一步的關鍵是獲得好思路。你過往解決問題的經驗、已經掌握的知識,這些是思路的來源。

 

你要問自己:有沒有解決過與當前相關的問題?當時用的辦法現在還能否適用?要不要做以及做哪些調整?

 

如果思路始終不肯降臨,你就試試改變這個問題的各個組件:已知、未知、條件,逐一替換,直到找到與之相似而你又解決過的問題。


第三步,執行并檢查


獲得思路需要掌握知識、良好習慣、專注、還有運氣,執行它就相對簡單,主要是耐心。要反復提醒自己:每一步都要檢查。

 

檢查有兩種,一種是直覺,直覺是問你自己,這一步是不是一眼看去就是對的?


一種是證明,證明是問你自己,能不能嚴格證明這步是對的?兩個都有用,但是兩回事。

 

第四步,總結

 

總結是最好的啟發時刻。絕不能解決完問題就了事,那就浪費了鞏固知識和提升技巧的機會。

 

你再檢查一遍論證過程,嘗試用另外的方法解題,尋找更明快簡捷的方法,還要問,這次的解法能否用來解決其他問題?

 

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上面的四步解題法來自著名美國數學家和數學教育家G ·波利亞所寫得一部經久不衰的暢銷書《怎樣解題:數學解題的新方法》


這本書不僅適用于天才,也適用于常人,總銷量過百萬冊,有十七種語言版本,是有史以來最暢銷的數學書。


今天數學界最著名的天才人物陶哲軒,小時候曾經用它來準備奧數比賽。如果當年我的數學老師用過這本書教我,我一定會是學霸中的學霸。


解決問題的問題清單


與四步解題法相對應的,有個完整的提問清單。即使你面對的不是數學題而是人生種種難題,四步解題法及問題清單也極有價值。 


它適用于無數其他情境,幫助每個人尋找各自問題的解決之道,不論它是什么問題。

 

1. 在理解問題階段的問題清單是:


未知數是什么?

已知數據(指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱)是什么?

條件是什么?

滿足條件是否可能?

要確定未知數,條件是否充分?

或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

畫張圖;

引入適當的符號;

把問題用自己的話重新講,反復講。


2. 在構思解題思路階段的問題清單是:


以前有沒有見過相似或相關問題?

以前用過的方法這次能否適用?

不相似的地方是否需要引入輔助假設?

條件有沒有用足?

能不能構造比現在更簡單一點點的問題,先解決簡單的?

如果微調已知數、條件,甚至改變求解的未知數,能否找到解題線索?


3. 在執行解題思路階段的問題清單是:

每一步都檢查過了嗎?

能看出來這一步是對的嗎?

能證明這一步是對的嗎?


4. 在回顧總結階段的問題清單是:


你能否檢驗這個論證?

論證過程檢查了嗎?

能否用另外的方法推出結果?

能否將方法用于解決其他題目?


波利亞認為,這些問題清單:


必須要系統、自然、明顯、符合常識,防止打斷形成思路的進程;

必須要反復問,把它內化成肌肉反應;

必須要有一般性,不僅適用于眼下的問題,還能適用于所有情境;

必須要從一般性問題逐漸引到具體問題,激活思路,再回到一般性問題上來,如此反復迭代。



這樣才能為練習者指出思考的方向,同時又留下了足夠的努力空間。

 

舉個例子:“怎樣解題表”之梯形面積公式推導過程   


第一,引導學生弄清問題


1、要求什么?(梯形面積公式)

2、已知與之相關的概念,定理是什么?(三角形、平行四邊形及長方形概念,面積公式和公式推導的過程)

3、已知條件是什么?(梯形上底、下底和相對應的高)

4、要推導出梯形面積公式,條件是否充分?

5、準備2個完全相同的梯形圖形,你能標出已知條件嗎?

6、找出已知數與求知數之間的聯系。由三角形、平行四邊形及長方形面積公式和公式推導的過程你能想到和梯形面積公式有關的什么方法?(轉化思想)


第二,擬定計劃


1、你知道梯形面積公式嗎?

2、你是否見過相似的形狀?看著梯形!試想出一個與之相似的熟悉的圖形?(長方形,平行四邊形)

3、平行四邊形及長方形面積公式和公式推導的過程已解決,你能應用它嗎?

4、你能不能利用平行四邊形及長方形面積公式和公式推導的過程推出梯形面積公式嗎?

5、為了能利用它,你是否能將梯形進行轉化?(平行四邊形)

6、你能不能用不同的方法將梯形進行轉化?(平行四邊形或長方形)

7、回到定義去。如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個與此有關的問題。你先解決一般梯形還是特殊梯形的推導?(2個完全相同的具有普遍性的一般梯形拼平行四邊形)



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